秩a+b小于等于秩a加秩b？

一、秩a+b小于等于秩a加秩b？

设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

1、定理 矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

2、定理 初等变换不改变矩阵的秩。

3、定理 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}

扩展资料：

A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的，即rank(A)=rank(AT)。

二、a乘以b的秩等于b的秩吗？

可以，ab的秩与a的秩和b的秩的关系是：

r(A，B)>=r(A+B)

r(A，B)>=r(B)>=r(AB)

r(AB)与r(A+B)没有直接关系。

矩阵B可逆，AB的秩等于A的秩，那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵，而左乘初等阵就是对B进行初等行变换，所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积，同理秩不变。

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数

三、a乘b的秩与a的秩加b的秩的关系？

r(A,B)>=r(A+B)

r(A,B)>=r(B)>=r(AB)

r(AB)与r(A+B)没有直接关系。

矩阵B可逆，AB的秩等于A的秩，那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵，而左乘初等阵就是对B进行初等行变换，所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积，同理秩不变。

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

四、为什么秩b<=n-秩a？

因为r(A)=n, 存在行变换矩阵 P,使得 PA =I 0 其中，I为 nxn单位矩阵，0为 (m-n)xn零矩阵 同理，存在 列变换矩阵 Q使得 BQ= I 0, 其中I为nxn单位矩阵，0为 n x (s-n)零矩阵 PABQ = P * (I,0)' (I,0) Q = P I Q = PQ满秩 所以 AB的秩为n 扩展资料 在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说， 如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

五、a的秩加b的秩小于等于ab的秩？

AB的秩≥A的秩+B的秩-n

AB的秩≤min{A的秩，B的秩}。

六、a的秩加b的秩大于等于ab的秩？

r(A,B)>=r(A+B)

r(A,B)>=r(B)>=r(AB)

r(AB)与r(A+B)没有直接关系。

矩阵B可逆，AB的秩等于A的秩，那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵，而左乘初等阵就是对B进行初等行变换，所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积，同理秩不变。

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

七、a×b的秩与a的秩和b的秩的关系？

r(A,B)>=r(A+B)

r(A,B)>=r(B)>=r(AB)

r(AB)与r(A+B)没有直接关系。

矩阵B可逆，AB的秩等于A的秩，那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵，而左乘初等阵就是对B进行初等行变换，所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积，同理秩不变。

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

八、a的伴随矩阵乘b的秩等于b的秩？

关系如下：

原矩阵秩为n，伴随为n。

原矩阵秩为n-1，伴随为1。

原矩阵秩小于n-1，伴随为0。

再补充一下，伴随A* =1/|A| * A^-1。

当A满秩，A^-1也满秩，所以伴随也满秩。

从定义来伴随阵由余子式构成，当原矩阵秩为n-1时，则至少存在一个n-1阶行列式不为0。所以为1

当小于n-1时，任何n-1阶子式都等于0，所以伴随阵为0阵，秩为0。

伴随矩阵和矩阵性质：

当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。二阶矩阵的求法口诀，主对角线元素互换，副对角线元素变号。

将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

九、矩阵a的秩等于矩阵b的秩？

矩阵A（m行n列）的行秩是行向量所能展开的空间的维度，即m个行向量中最大不线性相关的向量的个数，设为Rank(row);同样A的列秩是n个列向量空间的维度，记为Rank(col).

有：对于任何A,其Rank(col)=Rank(row)=Rank(A),即矩阵的秩等于行秩也等于列秩。

于是一个矩阵的秩等于它的转置的秩。

现在从一个角度理解下为什么 Rank(col)=Rank(row)=Rank(A)：

从矩阵乘法的两种理解说起（矩阵乘法的计算一共有四种方法，这里用到其中两种）：

C=AB可以看成A依次右乘以B的各列，即对于B的一列，拿它的元素作为系数对A的各列做线性组合，作为C中的一列。显然，C中的各列都是A中各列的线性组合，C的列空间是A的列空间的子空间，即Rank(col) of C <= Rank(col) of A. 推广一下，A不管右乘多少个矩阵，得到的矩阵的列空间一定是A的列空间的子空间。

C=AB也可以看成B依次左乘以A的各行，即对于A的一行，拿它的元素作为系数对B的各行做线性组合，作为C中的一行。显然，C中的各行都是B中各行的线性组合，C的行空间是B的行空间的子空间。

现在假设A（m行n列）的列空间的维度是r(r<=n)，则可以认为A=RB,(其中R为m行r列并且列空间的维度为r，B为r行n列）。由于A=RB，所以A的行空间的维度<=B的行空间的维度<=r，即A的行空间的维度<=列空间的维度。类似可以推出A的列空间的维度<=行空间的维度。这两条要同时满足，只能是行空间维度==列空间维度了。

另外，矩阵乘法AB的其它两种定义，一个就是正常的求和公式；还有一个就是外积(A的各列乘以B的各行得到许多矩阵，然后相加)。

其实行秩和列秩为什么神奇的相等,需要更深入地学习. 比如 [Advanced Calculus Revised Edition, Loomis, Lynn H., 1968](Advanced Calculus Revised, Lynn Harold Loomis, Shlomo Sternberg), p84 提到:

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PS: 今天看《线性代数的几何意义》第5.7.1节，觉得里面说的比我上面说的更直观，我下面加工一下，复述如下：

首先有，对于矩阵 ,行秩和列秩都 : 以行秩为例，一共有才m行，所以行秩不可能大于m；而每个行向量才n个"坐标"，秩又不可能大于n；所以，行秩。同理可以论证列秩 。虽然这一步还没有说明行秩必须等于列秩，但是可以让我们把矩阵变先变成一个方阵后再讨论：假设 ,先把通过消灭多余（即线性相关）的列向量变成方阵 以后再讨论秩的问题。

这时候就是这本书里面讲的结论：“方阵里面，有几个行向量是多余的，就有几个列向量是多余的”。思路大致是，假设行向量里面有一个是多余的(即是其它行向量的线性组合)，则可以把这个行向量去掉（或者变成0，一样的效果），这样就又不是一个方阵了。于是在通过上面的方法去掉一列，使它变成方阵。如此反复，直到它变成一个方阵且行向量和列向量都独立为止。显然，行秩必然等于列秩。

十、矩阵ab的秩等于b的秩？

这种情况下矩阵a一定需要它本身是满秩矩阵